Question

【题目】电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字1或2.将输出的前个数字之和被3整除的概率记为.证明：

（1）；

（2）.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

证法1 这个数字共有种可能情形.

设其中数字和被3整除的有种.则不被3整除的有种.

对于个数字的情形，若其和被3整除，则前个数字之和不被3整除；反之，对于前各数字之和不被3整除的每种情形，有唯一的第个数字可使前个数字之和被3整除.因此，.

这表明，概率满足递推关系式

.

证法2 若输出的前个数字之和被3整除的概率为，则不被3整除的概率为.要使输出的前个数字之和被3整除，则必须使前个数字之和不被3整除，且此时第个数字也随之确定.

所以，由条件概率的公式得.

余下同证法1.

证法3 个数字共有种可能情形.

下面计算其和被3整除的种数，这等于多项式的展开式中等项的系数之和，即，①

其中，为三次单位根，是其共轭复数.

故式①.

因此，所求的概率为.

可验证及.