【题目】已知直线方程为.
(1)证明:直线恒过定点;
(2)为何值时,点到直线的距离最大,最大值为多少?
(3)若直线分别与轴,轴的负半轴交于两点,求面积的最小值及此时直线的方程.
【答案】(1)证明见解析(2);(3)最小值为;此时直线的方程
【解析】
(1)证明:利用直线是直线系求出直线恒过定点,即可;
(2)点到直线的距离最大,转化为两点间的距离,求出距离就是最大值.
(3)若直线分别与轴,轴的负半轴交于.两点,设出直线的方程,求出,,然后求出面积,利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程.
(1)证明:直线方程为,可化为,对任意都成立,所以,解得,所以直线恒过定点;
(2)解:点到直线的距离最大,
可知点与定点的连线的距离就是所求最大值,
即.
,
的斜率为,
可得,解得.
(3)解:若直线分别与轴,轴的负半轴交于两点,直线方程为,,
则,,
,当且仅当时取等号,面积的最小值为.
此时直线的方程.
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【题目】如图,直三棱柱中,,,,外接球的球心为О,点E是侧棱上的一个动点.有下列判断:
①直线AC与直线是异面直线;
②一定不垂直;
③三棱锥的体积为定值;
④的最小值为
⑤平面与平面所成角为
其中正确的序号为_______
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【题目】经调查,3个成年人中就有一个高血压,那么什么是高血压?血压多少是正常的?经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查,得出随年龄变化,收缩压的正常值变化情况如下表:
其中: , ,
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;(的值精确到0.01)
(3)若规定,一个人的收缩压为标准值的0.9~1.06倍,则为血压正常人群;收缩压为标准值的1.06~1.12倍,则为轻度高血压人群;收缩压为标准值的1.12~1.20倍,则为中度高血压人群;收缩压为标准值的1.20倍及以上,则为高度高血压人群.一位收缩压为180mmHg的70岁的老人,属于哪类人群?
【答案】(1)答案见解析;(2) ;(3)中度高血压人群.
【解析】试题分析:(1)将数据对应描点,即得散点图,(2)先求均值,再代人公式求,利用求,(3)根据回归直线方程求自变量为180时对应函数值,再求与标准值的倍数,确定所属人群.
试题解析:(1)
(2)
∴
∴回归直线方程为.
(3)根据回归直线方程的预测,年龄为70岁的老人标准收缩压约为(mmHg)∵
∴收缩压为180mmHg的70岁老人为中度高血压人群.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】如图,四棱柱的底面为菱形, , , 为中点.
(1)求证: 平面;
(2)若底面,且直线与平面所成线面角的正弦值为,求的长.
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【题目】已知等差数列的前n项和为, , ,数列满足: , , ,数列的前n项和为
(1)求数列的通项公式及前n项和;
(2)求数列的通项公式及前n项和;
(3)记集合,若M的子集个数为16,求实数的取值范围.
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【题目】已知向量垂直于向量,向量垂直于向量.
(1)求向量与的夹角;
(2)设,且向量满足,求的最小值;
(3)在(2)的条件下,随机选取一个向量,求的概率.
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【题目】设等比数列的公比为,其前项和为,前项之积为,并且满足条件:,,,下列结论中正确的是( )
A. B.
C. 是数列中的最大值 D. 数列无最小值
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【题目】如图,已知椭圆的右焦点为,点在椭圆上,过原点的直线与椭圆相交于、两点,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设,,过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于、两点,证明:.
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