【题目】已知椭圆C: (>b>0)的左、右顶点分别为A1、A2,上、下顶点分别为B2、B1,O为坐标原点,四边形A1B1A2B2的面积为4,且该四边形内切圆的方程为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若M、N是椭圆C上的两个不同的动点,直线OM、ON的斜率之积等于,试探求△OMN的面积是否为定值,并说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)先利用四边形的面积求得,再利用直线和圆相切进行求解;(Ⅱ)设出直线方程,联立直线和椭圆的方程,得到关于的一元二次方程,利用根与系数的关系、直线的斜率公式和三角形的面积公式进行求解.
试题解析:(Ⅰ)∵四边形A1B1A2B2的面积为4,又可知四边形A1B1A2B2为菱形,
∴,即ab=2①
由题意可得直线A2B2方程为:,即bx+ay﹣ab=0,
∵四边形A1B1A2B2内切圆方程为,
∴圆心O到直线A2B2的距离为,即②
由①②解得:a=2,b=1,∴椭圆C的方程为:
(Ⅱ)若直线MN的斜率存在,设直线MN的方程为y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),
由得:(1+4k2)x2+8mkx+4(m2﹣1)=0∵直线l与椭圆C相交于M,N两个不同的点,
∴△=64m2k2﹣16(1+4k2)(m2﹣1)>0得:1+4k2﹣m2>0③
由韦达定理:
∵直线OM,ON的斜率之积等于,
∴,
∴,
∴2m2=4k2+1满足③…(9分)
∴,
又O到直线MN的距离为,,
所以△OMN的面积
若直线MN的斜率不存在,M,N关于x轴对称
设M(x1,y1),N(x1,﹣y1),则,,
又∵M在椭圆上,,∴,
所以△OMN的面积S===1.
综上可知,△OMN的面积为定值1.
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【题目】已知数列的前项和为,点在直线上.数列满足且,前9项和为153.
(1)求数列、的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,求及使不等式对一切都成立的最小正整数的值;
(3)设,问是否存在,使得成立?若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是平行四边形, ,侧面底面, , , , 分别为, 的中点,点在线段上.
(1)求证: 平面;
(2)若直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等,求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)在平行四边形中,由条件可得,进而可得。由侧面底面,得底面,故得,所以可证得平面.(Ⅱ)先证明平面平面,由面面平行的性质可得平面.(Ⅲ)建立空间直角坐标系,通过求出平面的法向量,根据线面角的向量公式可得。
试题解析:
(Ⅰ)证明:在平行四边形中,
∵, , ,
∴,
∴,
∵, 分别为, 的中点,
∴,
∴,
∵侧面底面,且,
∴底面,
又底面,
∴,
又, 平面, 平面,
∴平面.
(Ⅱ)证明:∵为的中点, 为的中点,
∴,
又平面, 平面,
∴平面,
同理平面,
又, 平面, 平面,
∴平面平面,
又平面,
∴平面.
(Ⅲ)解:由底面, ,可得, , 两两垂直,
建立如图空间直角坐标系,
则, , , , , ,
所以, , ,
设,则,
∴, ,
易得平面的法向量,
设平面的法向量为,则:
由,得,
令,得,
∵直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等,
∴,即,
∴,
解得或(舍去),
故.
点睛:用向量法确定空间中点的位置的方法
根据题意建立适当的空间直角坐标系,由条件确定有关点的坐标,运用共线向量用参数(参数的范围要事先确定)确定出未知点的坐标,根据向量的运算得到平面的法向量或直线的方向向量,根据所给的线面角(或二面角)的大小进行运算,进而求得参数的值,通过与事先确定的参数的范围进行比较,来判断参数的值是否符合题意,进而得出点是否存在的结论。
【题型】解答题
【结束】
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【题目】如图,椭圆上的点到左焦点的距离最大值是,已知点在椭圆上,其中为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点且斜率为的直线交椭圆于、两点,其中在第一象限,它在轴上的射影为点,直线交椭圆于另一点.证明:对任意的,点恒在以线段为直径的圆内.
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【题目】等差数列{an}的前n项和为Sn,且=9,S6=60.
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)若数列{bn}满足bn+1﹣bn=(n∈N+)且b1=3,求数列的前n项和Tn.
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【题目】某校高三年级实验班与普通班共1000名学生,其中实验班学生200人,普通班学生800人,现将高三一模考试数学成绩制成如图所示频数分布直方图,按成绩依次分为5组,其中第一组([0, 30)),第二组([30, 60)),第三组([60, 90)),的频数成等比数列,第一组与第五组([120, 150))的频数相等,第二组与第四组([90, 120))的频数相等。
(1)求第三组的频率;
(2)已知实验班学生成绩在第五组,在第四组,剩下的都在第三组,试估计实验班学生数学成绩的平均分;
(3)在(2)的条件下,按分层抽样的方法从第5组中抽取5人进行经验交流,再从这5人中随机抽取3人在全校师生大会上作经验报告,求抽取的3人中恰有一个普通班学生的概率。
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【题目】已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上。若右焦点F到直线x-y+2=0的距离为3。
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M、N。当|AM|=|AN|时,求m的取值范围。
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【题目】四棱锥中,底面是的菱形,侧面为正三角形,其所在平面垂直于底面.
(1)若为线段的中点,求证:平面;
(2)若为边的中点,能否在棱上找到一点,使平面平面?并证明你的结论.
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