Question

如图1，，，过动点A作，垂足在线段上且异于点，连接，沿将△折起，使（如图2所示）．

（1）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；
（2）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱、的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．

Answer 1

（1）时, 三棱锥的体积最大．（2）

解析试题分析：（1）解法1：在如图1所示的△中，设，则．
由，知，△为等腰直角三角形，所以.
由折起前知，折起后（如图2），，，且，
所以平面．又，所以．于是
    
，
当且仅当，即时，等号成立   
故当，即时, 三棱锥的体积最大．   
解法2：同解法1，得．  
令，由，且，解得．
当时，；当时，．
所以当时，取得最大值．
故当时, 三棱锥的体积最大.
（2）解法1：以D为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系D-.
由（Ⅰ）知，当三棱锥A-BCD的体积最大时，BD＝1,AD＝CD＝2.
于是可得D（0,0,0,），B（1,0,0），C（0,2,0），A（0,0,2）M（0,1,1）E（，1,0），且BM＝（-1，1,1）.    
设N（0,, 0），则EN＝,-1,0).因为EN⊥BM等价于EN·BM＝0,即（，-1,0）·（-1,1,1）＝+-1＝0，故＝，N（0, ，0） 
所以当DN＝时（即N是CD的靠近点D的一个四等分点）时，EN⊥BM.
设平面BMN的一个法向量为n=(,,),由可取＝(1,2,-1） 
设与平面所成角的大小为，则由，，可得
，即．   
故与平面所成角的大小为     
解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．
如图b，取的中点，连结，，