Question

3．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{3}$，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP与直线BQ交于点M（-9，m），以PQ为直径作圆C，判断点A与圆C的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由离心率公式和四边形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）A（-3，0），B（3，0），M（-9，m），AM的方程为y=$\frac{m}{-6}$（x+3），代入椭圆的方程8x²+9y²=72，运用韦达定理，求得P的坐标，同理可得Q的坐标，运用向量AP，AQ的坐标，运用数量积的坐标表示，由符号即可得到A与圆C的位置关系．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$•2a•2b=12$\sqrt{2}$，
a²-b²=c²，解得c=1，a=3，b=2$\sqrt{2}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（Ⅱ）A（-3，0），B（3，0），M（-9，m），
AM的方程为y=$\frac{m}{-6}$（x+3），代入椭圆的方程8x²+9y²=72，
可得（32+m²）x²+6m²x+9m²-288=0，
由-3x_P=$\frac{9{m}^{2}-288}{32+{m}^{2}}$，解得x_P=$\frac{96-3{m}^{2}}{32+{m}^{2}}$，y_P=$\frac{-32m}{32+{m}^{2}}$，m≠0，
BM的方程为y=$\frac{m}{-12}$（x-3），代入椭圆的方程8x²+9y²=72，
可得（128+m²）x²-6m²x+9m²-1152=0，
由3x_Q=$\frac{9{m}^{2}-1152}{128+{m}^{2}}$，解得x_Q=$\frac{3{m}^{2}-384}{128+{m}^{2}}$，y_Q=$\frac{64m}{128+{m}^{2}}$，
由$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{192}{32+{m}^{2}}$，$\frac{-32m}{32+{m}^{2}}$），$\overrightarrow{AQ}$=（$\frac{6{m}^{2}}{128+{m}^{2}}$，$\frac{64m}{128+{m}^{2}}$），
即有$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{192•6{m}^{2}-32•64{m}^{2}}{（32+{m}^{2}）（128+{m}^{2}）}$=$\frac{-896{m}^{2}}{（32+{m}^{2}）（128+{m}^{2}）}$＜0，
即有∠PAQ为钝角，
即点A在以PQ为直径的圆C的内部．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查点与圆的位置关系的判断，注意运用向量的数量积的坐标表示，同时考查直线和椭圆方程相交问题，考查圆能力，属于中档题．