Question

18．若圆x²+y²-6x-4y-5=0上至少有三个不同的点到直线?：ax+by-a=0的距离为2$\sqrt{2}$，则直线?倾斜角的取值范围是：（　　）

• A． $[{\frac{π}{12}，\frac{π}{4}}]$
• B． $[{\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}}]$
• C． $[{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$
• D． $[{0，\frac{π}{2}}]$

Answer 1

分析 由题意得到圆心C（3，2）到直线?：ax+by-a=0的距离小于$\sqrt{2}$，由此能求出倾斜角的范围．

解答 解：圆x²+y²-6x-4y-5=0的圆心C（3，2），r=$\frac{1}{2}\sqrt{36+16+20}=3\sqrt{2}$，
∵圆x²+y²-6x-4y-5=0上至少有三个不同的点到直线?：ax+by-a=0的距离为2$\sqrt{2}$，
∴圆心C（3，2）到直线?：ax+by-a=0的距离小于$\sqrt{2}$，
即$d=\frac{|3a+2b-a|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$$≤\sqrt{2}$，
b=0时，不符合，∴b≠0，
∴$d=\frac{|3a+2b-a|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=|$\frac{\frac{2a}{b}+2}{\sqrt{\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}+1}}$|$≤\sqrt{2}$，
∴（$\frac{a}{b}$）²+4•$\frac{a}{b}$+1≤0．∴-2-$\sqrt{3}$≤$\frac{a}{b}$≤-2+$\sqrt{3}$．即2-$\sqrt{3}$≤k≤2+$\sqrt{3}$，
∴倾斜角的范围为[$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]．
故选：B．

点评 本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．