Question

7．正六边形ABCDEF的对角线AC和CE分别被内点M和N分割，且有$\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r$．如果B、M、N共线，则r的值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 根据正六边形的特点建立坐标系，不妨设边AB=1，求出A、B、C、E的坐标，设M的坐标，由条件和向量相等列出方程，求出M的坐标，同理求出点N的坐标，求向量的坐标运算求出$\overrightarrow{BM}$、$\overrightarrow{BN}$的坐标，将B，M，N三点共线转化为$\overrightarrow{BM}$∥$\overrightarrow{BN}$，由共线向量的坐标条件列出方程，求出r的值．

解答 解：建立如图坐标系，不妨设正六边形ABCDEF的边AB=1，
则A（0，0），B（1，0），C（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
E（0，$\sqrt{3}$），
设M的坐标为（x，y），
∵$\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r$，∴（x，y）=r（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
则x=$\frac{3}{2}$r，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，即M（$\frac{3}{2}$r，$\frac{\sqrt{3}}{2}$r），
同理可求，N的坐标是（$\frac{3}{2}$（1-r），$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+r）），
∴$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{3}{2}$r-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$r），$\overrightarrow{BN}$=（$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$r，（1+r）），
∵B，M，N三点共线，
∴$\overrightarrow{BM}$∥$\overrightarrow{BN}$，则（$\frac{3}{2}$r-1）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+r）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$r×（$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$r）=0，
化简得，3r²=1，解得r=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了利用坐标法解决向量的问题，向量的坐标运算，向量相等的条件，以及向量共线的坐标条件，考查方程思想，转化思想，建立恰当的坐标系是解题的关键．