Question

【题目】如图，在四棱锥中，，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若，，二面角的大小为，求.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由题意证明平面，从而证得平面平面；

（2）求出平面PAB的法向量和平面PBC的法向量，由此利用向量法能求出cosθ．

（1）证明：∵，∴，，

∵，∴，

又∵，且平面，平面，

∴平面，又平面，

∴平面平面；

（2）∵，，∴四边形为平行四边形，

由（1）知平面，∴，则四边形为矩形，

在中，由，，

可得为等腰直角三角形，

设，则.

取中点，中点，连接、，

以为坐标原点，分别以、、所以直线为、、轴建立空间直角坐标系，则：

，，，.

，，.

设平面的一个法向量为，

由，得，

取，得.

∵平面，平面，∴，

又，，

∴平面，则为平面的一个法向量，.

∴.

由图可知，二面角为钝角，

∴二面的余弦值为.