Question

已知向量

m

=（3cosx，

3

sinx），

n

=（2cosx，-2cosx），函数f（x）=

m

•

n

．
（1）求f（x）的最小正周期和对称轴方程；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B）=0且b=2，cosA=

4

5

，求a的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示，结合二倍角公式和两角和的余弦公式，化简f（x），再由周期公式和对称轴方程，计算即可得到；
（2）运用条件的平方关系，结合三角形的正弦定理，计算即可得到．

解答： 解：（1）由于向量

m

=（3cosx，

3

sinx），

n

=（2cosx，-2cosx），
则函数f（x）=

m

•

n

=6cos²x-2

3

sinxcosx=3（1+cos2x）-

3

sin2x
=3+2

3

（

3

2

cos2x-

1

2

sin2x）=3+2

3

cos（2x+

π

6

），
则f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，
由2x+

π

6

=2kπ（k∈Z），可得对称轴方程x=kπ-

π

12

（k∈Z）；
（2）f（B）=0即cos（2B+

π

6

）=-

3

2

，
由于B为锐角，则

π

6

＜2B+

π

6

＜

7π

6

，
即有2B+

π

6

=

5π

6

，解得B=

π

3

，
cosA=

4

5

，A为锐角，则sinA=

3

5

，
在△ABC中，由正弦定理可得
a=

bsinA

sinB

=

2× 3 5

3 2

=

4 3

5

．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，主要考查三角函数的恒等变换和余弦函数的周期，以及正弦定理的运用，属于中档题．