Question

函数f（x）=5

3

cos²x+

3

sin²x-4sinxcosx
（1）求f（

5π

12

）
（2）若f（α）=5

3

，α∈（

π

2

，π），求角α．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数的值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先通过三角恒等变换把三角函数的关系式变形成余弦型函数，进一步求出函数的值．
（2）利用（1）的结论，建立关于α的三角方程，通过解三角方程求出角α的值．

解答： 解：（1）f（x）=5

3

cos²x+

3

sin²x-4sinxcosx
=5

3

cos2x+

3

(1-cos2x)-2sin2x
=4

3

cos2x-2sin2x+

3

=4

3

cos2x+1

2

-2sin2x+

3

=2

3

cos2x-2sin2x+3

3

=4cos(2x+

π

6

)+3

3

所以：f(

5π

12

)=4cos(

10π

12

+

π

6

)+3

3

=3

3

-4
（2）由（1）得：f（x）=4cos(2x+

π

6

)+3

3

则：f(α)=4cos(2α+

π

6

)+3

3

=5

3

所以：4cos(2α+

π

6

)=2

3

进一步求得：cos(2α+

π

6

)=

3

2

又α∈（

π

2

，π），
所以：2α+

π

6

=2kπ±

π

6

（k∈Z）
解得：当k=1时，α=

5π

6

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，及三角方程的解法，属于基础题型．