Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线

x2

a

-y²=1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是（　　）

• A、

  1

  9

• B、

  1

  25

• C、

  1

  5

• D、

  1

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求得抛物线的准线方程，再由抛物线的定义可得p=8，求出M的坐标，求得双曲线的左顶点和渐近线方程，再由斜率公式，结合两直线平行的条件：斜率相等，计算即可得到a的值．

解答： 解：抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-

p

2

，
由抛物线的定义可得5=1+

p

2

，可得p=8，
即有y²=16x，M（1，4），
双曲线

x2

a

-y²=1的左顶点为A（-

a

，0），
渐近线方程为y=±

1

a

x，
直线AM的斜率为

4

1+ a

，
由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，
可得

1

a

=

4

1+ a

，解得a=

1

9

，
故选A．

点评：本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的定义和渐近线方程，运用两直线平行的条件是解题的关键．