Question

设无穷数列{a_n}，如果存在常数A，对于任意给定的正数?（无论多小），总存在正整数N，使得n＞N时，恒有|a_n-A|＜?成立，就称数列{a_n}的极限为A，则四个无穷数列：
①{（-1）ⁿ×2}；
②{n}；
③{1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

}；
④{

2n+1

n

}，
其极限为2共有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：数列的极限

专题：计算题,综合题

分析：①是摆动数列，无极限；②为递增数列，无极限；③先利用等比数列的求和公式求和，然后可知其极限为2；④化简后可知其极限为2．

解答： 解：对于①，数列{（-1）ⁿ×2}为摆动数列，-2，2，-2，2，-2，2，…，∴数列没有极限；
对于②，数列{n}为递增数列，∴数列没有极限；
对于③，∵1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

=

1×(1- 1 2n )

1- 1 2

=2-

1

2n-1

，
∴存在常数2，对于任意给定的正数?（无论多小），总存在正整数N，使得n＞N时，恒有|a_n-A|＜?成立，数列{1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

}的极限为2；
对于④，∵

2n+1

n

=2+

1

n

，
∴存在常数2，对于任意给定的正数?（无论多小），总存在正整数N，使得n＞N时，恒有|a_n-A|＜?成立，数列{

2n+1

n

}的极限为2．
∴极限为2共有2个．
故选：B．

点评：本题考查了数列极限的概念，关键是对数列极限概念的理解，是中档题．