Question

已知递增的等比数列{a_n}前三项之积为8，且这三项分别加上1、2、2后又成等差数列．
（1）求等比数列{a_n}的通项公式；
（2）若不等式a_n²+2ⁿa_n-k≥0对一切n∈N^*恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出等比数列的前三项，结合题意列式求出首项和公比，则等比数列的通项公式可求；
（2）把不等式a_n²+2ⁿa_n-k≥0对一切n∈N^*恒成立分离参数k可得，k≤

a

2 n

+2n•an，代入{a_n}的通项公式后整理可得当n=1时，

a

2 n

+2n•an的最小值为3，则k的取值范围为可求．

解答： 解：（1）设等比数列前三项分别为a₁、a₂、a₃，
则a₁+1、a₂+2、a₃+2又成等差数列．
依题意得：

a1a2a3=8 2(a2+2)=(a1+1)+(a3+2)

，
即

a1•a1q•a1q2=8 2(a1q+2)=a1+1+a1•q2+2

，
解之得

a1=1 q=2

，或

a1=4 q= 1 2

（数列{a_n}为递增等比数列，舍去）．
∴数列{a_n}的通项公式：an=2n-1；
（2）不等式a_n²+2ⁿa_n-k≥0对一切n∈N^*恒成立，即k≤

a

2 n

+2n•an，
而

a

2 n

+2n•an=(2n-1)2+2n•2n-1=3×22n-2．
当n=1时，

a

2 n

+2n•an的最小值为3，
∴不等式

a

2 n

+2n•an-k≥0对一切n∈N^*恒成立，则k≤3．
∴k的取值范围为（-∞，3]．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了数列的函数特性，训练了分离变量法求解参数的取值范围问题，是中档题．