Question

函数f（x）在定义域R上不是常函数，且f（x）满足条件，对任何x∈R，都有f（x+2）=f（2-x），f（1+x）=-f（x），则f（x）是（　　）

• A、奇函数
• B、偶函数
• C、非奇非偶函数
• D、既奇又偶函数

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：根据对任意x∈R，都有f（2+x）=f（2-x），f（1+x）=-f（x），知f（2+x）=f[1+（1+x）]=-f（1+x）=f（x），f（2-x）=f[1+（1-x）]=-f（1-x）=-f[1+（-x）]=f（-x），故f（x）为偶函数，由函数f（x）在定义域R上不是常函数易得函数f（x）不可能为奇函数，即可得答案．

解答： 解：∵对任意x∈R，都有f（1+x）=-f（x）
∴f（2+x）=f[1+（1+x）]=-f（1+x）=f（x），f（2-x）=f[1+（1-x）]=-f（1-x）=-f[1+（-x）]=f（-x）
又∵对任意x∈R，都有f（2+x）=f（2-x）
∴f（x）=f（-x）
故f（x）为偶函数
又∵既是奇函数又是偶函数只有常数函数，函数f（x）在定义域R上不是常函数
∴函数f（x）不可能为奇函数
故选B

点评：本题考查了函数奇偶性的判断以及变量整体代入法，属于基础题．