Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，中，AC=BC=

1

2

AA₁=2，D是棱AA₁的中点，DC₁⊥BD．
（1）证明：DC₁⊥BC；
（2）求二面角C-BC₁-D的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得A₁D=AD=2，∠ADC=45°，∠A₁DC₁=45°，从而DC⊥DC₁，又DB⊥DC₁，由此能证明DC₁⊥BC．
（2）由直三棱柱性质得CC₁⊥BC，再由DC₁⊥BC，得面DCC₁⊥面BCC₁，过D作DH⊥CC₁于H，过H作HI⊥BC₁于I，则∠DIH为所求二面角的平面角，由此能求出二面角C-BC₁-D的余弦值．

解答： 解：（1）证明：∵D是棱AA₁的中点，∴A₁D=AD=2，
在Rt△DAC中，AC=AD=2，∴∠ADC=45°，
同理，∠A₁DC₁=45°，∴∠CDC₁=90°，∴DC⊥DC₁，
又DB⊥DC₁，∴DC₁⊥面BCD，
∴DC₁⊥BC．
（2）解：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥BC，
由（1）得DC₁⊥BC，∴BC⊥ACC₁A₁，∴面DCC₁⊥面BCC₁，
过D作DH⊥CC₁于H，过H作HI⊥BC₁于I，
则∠DIH为所求二面角的平面角，
在Rt△CC₁B中，CC₁=4，BC=2，∴BC₁=2

5

，
设C到BC₁的距离为d，由于BC•CC₁=BC₁•d，
∴d=

4

5

，HI=

2

5

，
在Rt△DHI中，HI=

2

5

，DH=2，∴DI=

DH2+HI2

=

2 6

5

，
∴cos∠DIH=

HI

DI

=

2 5

2 6 5

=

6

6

，
∴二面角C-BC₁-D的余弦值为

6

6

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．