Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K，连接AC，且KG²=KD•GE．
（Ⅰ）求证：KE=GE；
（Ⅱ）求证：AC∥EF．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：立体几何

分析：（1）如答图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出连接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；
（2）AC与EF平行，理由为：如答图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG²=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；

解答： 证明：（Ⅰ）连接OG，如下图所示：

∵EF为⊙O的切线，
∴OG⊥EF，
∴∠OGA+∠KGE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠OAG+∠HKA=90°，
∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠HKA=∠GKE，
∴KE=GE．（5分）
（Ⅱ）连接DG，BC，
∵KG²=KD•GE，
∴

KG

KD

=

KE

KG

，
∵∠DKG=∠GKE，
∴△KDG∽△KGE
∴∠AGD=∠E，
又∵∠AGD=∠ACD，
∴∠ACD=∠E．
∴AC∥EF．（10分）

点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．