Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²-2lnx，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）已知点P（0，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先求函数的定义域，然后求导，利用导数大于0或导数小于0，得到关于x的不等式，解之即可；注意解不等式时要结合对应的函数图象来解；
（2）因为对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，所以问题转化为导数值小于0恒成立的问题，对于导函数小于0在区间[1，e]上恒成立，则问题转化为函数的最值问题，即函数f′（x）＜0恒成立，通过化简最终转化为f（m）＜1在区间[1，e]上恒成立，再通过研究f（x）在[1，e]上的单调性求最值，结合（Ⅰ）的结果即可解决问题．注意分类讨论的标准的确定．

解答： 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=ax-

2

x

=

ax2-2

x

，
（Ⅰ）当a＜0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a=0时，f′（x）=-

2

x

＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，令f′（x）=0，结合x＞0，解得x=

2 a

，当x∈（0，

2 a

）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，

2 a

）上单调递减；当x∈（

2 a

，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（

2 a

，+∞）上单调递增；
综上所述：当a≤0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，函数f（x）在（0，

2 a

）上单调递减，在（

2 a

，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）因为对任意m∈[1，e]，直线PM的倾斜角都是钝角，所以对任意m∈[1，e]，直线PM的斜率小于0，
即

f(m)-1

m

＜0，所以f（m）＜1，即f（x）在区间[1，e]上的最大值小于1．
又因为f′（x）=ax-

2

x

=

ax2-2

x

，令g（x）=ax²-2，x∈[1，e]
（1）当a≤0时，由（Ⅰ）知f（x）在区间[1，e]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（1）=

1

2

a＜1，所以a＜2，
故a≤0符和题意；
（2）当a＞0时，令f′（x）=0，得x=

2 a

，
①当

2 a

≤1，即a≥2时，f（x）在区间[1，e]上单调递增，所以函数f（x）的最大值f（e）=

1

2

ae2-2＜1，解得a＜

6

e2

，故无解；
②当

2 a

≥e，即a≤

2

e2

时，f（x）在区间[1，e]上单调递减，函数f（x）的最大值为f（1）=

1

2

a＜1，解得a＜2，故0＜a＜

2

e2

；
③当1＜

2 a

＜e，即

2

e2

＜a＜2时，函数f（x）在（1，

2 a

）上单调递减；当x∈（

2 a

，e）上单调递增，故f（x）在区间x∈[1，e]上的最大值只能是f（1）或f（e），
所以

f(1)＜1 f(e)＜1

，即

a＜2 a＜ 6 e2

，故

2

e2

＜a＜

6

e2

．
综上所述a的取值范围a＜

6

e2

．

点评：本题重点考查不等式恒成立问题的基本思路，一般是转化为函数的最值问题，然后从函数的单调性入手分析，注意本题第二问讨论时的标准，一般要借助于函数图象辅助来解决问题．一方面利用了数学结合思想，同时重点考查了分类讨论思想的应用，有一定难度．