Question

已知一个正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线，根据正四面体ABCD外接球与内切球，画出图形，确定两个球的关系，通过正四面体的体积，求出两个球的半径的即可．

解答： 解：将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线，
设正四面体ABCD的棱长为a，则正方体的棱长为

2

2

a，
正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，
球的直径就是正方体的对角线的长，所以正方体的对角线为2R，
∵正方体的棱长为

2

2

a，所以

3

×

2

2

a=2R，
∴R=

6

4

a．
正四面体ABCD外接球与内切球的两球球心重合，设为O． 
设DO的延长线与底面ABC的交点为E，则DE为正四面体的高，DE⊥底面ABC，
且DO=R，OE=r，OE=正四面体PABC内切球的半径．
设正四面体ABCD底面面积为S． 
将球心O与四面体的4个顶点全部连接，
可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．
每个正三棱锥体积V₁=

1

3

•S•r 而正四面体体积V₂=

1

3

•S•（R+r）
从而有，4•V₁=V₂，
所以，4•

1

3

•S•r=

1

3

•S•（R+r），
所以，

r

R

=

1

3

．
∴这两个球的表面积之比为1：9，体积之比为1：27．

点评：本题考查球的表面积、体积公式，解题的关键是将正四面体ABCD，补成正方体，使得球O是正方体的外接球．