Question

已知函数f（x）=x²+2ax+3，x∈[-4，6]，
（Ⅰ）当a=-2时，求f（x）的值域；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使函数y=f（x）在区间[-4，6]上是单调函数．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）求出f（x），并对f（x）进行配方，这样即可看出x∈[-4，6]时，f（x）的最值，从而求出f（x）的值域；
（Ⅱ）求f（x）的对称轴，则根据二次函数的单调性，要使函数y=f（x）在区间[-4，6]上是单调函数，则区间[-4，6]应在对称轴的左边或右边，这样即可求得a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1；
∴x=2时，f（x）取最小值-1，x=-4时，f（x）取最大值35；
∴a=-2时，f（x）的值域为[-1，35]；
（Ⅱ）f（x）=（x+a）²+3-a²；
∴x∈（-∞，-a）时，函数f（x）单调递减，x∈[-a，+∞）时，函数f（x）单调递增；
∴要使函数y=f（x）在区间[-4，6]上是单调函数，则a满足：
-a≤-4，或-a≥6，解得a≥4，或a≤-6；
∴实数a的取值范围为（-∞，-6]∪[4，+∞）．

点评：考查通过配方求二次函数值域的方法，以及二次函数的单调性与对称轴的关系．