Question

8．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥$\frac{3}{5}$|CD|，则双曲线离心率的取值范围为[$\frac{5}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 设出双曲线的右焦点和渐近线方程，令x=c，联立方程求出A，B，C，D的坐标，结合距离关系和条件，运用离心率公式和a，b，c的关系，进行求解即可．

解答 解：设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），
当x=c时代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，则A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），
则AB=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
将x=c代入y=±$\frac{b}{a}$x得y=±$\frac{bc}{a}$，则C（c，$\frac{bc}{a}$），D（c，-$\frac{bc}{a}$），
则|CD|=$\frac{2bc}{a}$，
∵|AB|≥$\frac{3}{5}$|CD|，
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$≥$\frac{3}{5}$•$\frac{2bc}{a}$，即b≥$\frac{3}{5}$c，
则b²=c²-a²≥$\frac{9}{25}$c²，
即$\frac{16}{25}$c²≥a²，
则e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$≥$\frac{25}{16}$，
则e≥$\frac{5}{4}$．
故答案为：[$\frac{5}{4}$，+∞）．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据方程求出交点坐标，结合距离公式进行求解是解决本题的关键，属于中档题．