Question

3．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD，E、F、H分别是线段PA、PD、AB的中点．求证：
（1）PB∥平面EFH；
（2）PD⊥平面AHF．

Answer 1

分析 （1）要证PB∥平面EFH，须证PB平行平面EFH内的一条直线即可．
（2）要证PD⊥平面AHF，须证PD垂直面内两条相交直线即可．

解答 解：（1）证明：∵E，H分别是线段PA，AB的中点，
∴EH∥PB．
又∵EH?平面EFH，PB∉平面EFH，
∴PB∥平面EFH．
（2）解：∵F为PD的中点，且PA=AD，∴PD⊥AF，
又∵PA⊥底面ABCD，BA?底面ABCD，∴AB⊥PA．
又∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥AD．
又∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD．
又∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AF=A，∴PD⊥平面AHF．

点评 本题考查空间直线与平面之间的位置关系，考查了转化思想，是中档题．