Question

13．已知等差数列{a_n}满足S_n=-$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{3n}{2}$．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）S_n=-$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{3n}{2}$．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．n=1时，a₁=S₁．即可得出a_n．
（2）设数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的前n项和为T_n．$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{-n+2}{{2}^{n-1}}$．利用错位相减法即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=-$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{3n}{2}$．∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{3n}{2}$-$[-\frac{（n-1）^{2}}{2}+\frac{3（n-1）}{2}]$=-n+2．
n=1时，a₁=S₁=-$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}$=1，n=1时上式也成立．
∴a_n=-n+2．
（2）设数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的前n项和为T_n．
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{-n+2}{{2}^{n-1}}$．
∴T_n=$\frac{1}{1}+0-\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{-n+2}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}$+0-$\frac{1}{{2}^{3}}$-…+$\frac{-n+3}{{2}^{n-1}}$+$\frac{-n+2}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1-$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{2}}$-…-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{-n+2}{{2}^{n}}$=2-$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{-n+2}{{2}^{n}}$，
可得T_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．