Question

3．（1）计算：$\root{3}{（-4）^{3}}$-（$\frac{1}{2}$）⁰+0.25${\;}^{\frac{1}{2}}$×（$\frac{-1}{\sqrt{2}}$）^-4；
（2）已知x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，求$\frac{{x}^{2}+{x}^{-2}-2}{x+{x}^{-1}-3}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用分数指数幂的性质及运算法则能求出结果．
（2）由x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，求出x+x^-1=7，从而x²+x^-2=47，由此能求出$\frac{{x}^{2}+{x}^{-2}-2}{x+{x}^{-1}-3}$的值．

解答 解：（1）$\root{3}{（-4）^{3}}$-（$\frac{1}{2}$）⁰+0.25${\;}^{\frac{1}{2}}$×（$\frac{-1}{\sqrt{2}}$）^-4
=-4-1+0.5×4
=-3．
（2）∵x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，
∴（x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$）²=x+x^-1+2=9，
∴x+x^-1=7，∴（x+x^-1）²=x²+x^-2+2=49，
∴x²+x^-2=47，
∴$\frac{{x}^{2}+{x}^{-2}-2}{x+{x}^{-1}-3}$=$\frac{47-2}{7-3}$=$\frac{45}{4}$．

点评 本题考查分数指数幂化简求值，考查分数指数幂的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．