Question

18．已知曲线E上的点到直线y=-2的距离比到点F（0，1）的距离大1．
（1）求曲线E的方程；
（2）若过M（1，4）作曲线E的弦AB，使弦AB以M为中点，求弦AB所在直线的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意知，曲线E上的点到直线y=-1的距离与到点F（0，1）的距离相等，从而能求出抛物线方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由点差法及中点坐标公式可得直线斜率，从而能求出直线方程．

解答 解：（1）∵曲线E上的点到直线y=-2的距离比到点F（0，1）的距离大1，
∴曲线E上的点到直线y=-1的距离与到点F（0，1）的距离相等，
∴曲线E为抛物线，焦点为点F（0，1），准线为y=-1，
∴曲线E的方程为：x²=4y．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵过M（1，4）作曲线E的弦AB，使弦AB以M为中点，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=8，
由$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}=4{y}_{1}}\\{{{x}_{2}}^{2}=4{y}_{2}}\end{array}\right.$，得${{x}_{1}}^{2}$-${{x}_{2}}^{2}$=4（y₁-y₂），即2（x₁-x₂）=4（y₁-y₂），
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴直线AB的方程为y-4=$\frac{1}{2}$（x-1），即x-2y+7=0．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查直线方程的求法，考查抛物线、直线、点差法等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．