Question

10．如图，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点A（0，-1），且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．

Answer 1

分析 （I）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；
（II）把直线PQ的方程代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．

解答 （I）解：∵椭圆E经过点A（0，-1），且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴b=1，$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c=1，a=$\sqrt{2}$．
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（II）证明：由题设知，直线PQ的方程为y=k（x-1）+1（k≠2），
代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，得（1+2k²）x²-4k（k-1）x+2k（k-2）=0．
由条件可知△＞0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁x₂≠0，
则x₁+x₂=$\frac{4k（k-1）}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2k（k-2）}{1+2{k}^{2}}$，
从而直线AP，AQ的斜率之和为：
k_AP+k_AQ=$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}+1}{{x}_{2}}$=$\frac{k{x}_{1}-k+2}{{x}_{1}}$+$\frac{k{x}_{2}-k+2}{{x}_{2}}$=2k+（2-k）$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k+（2-k）$\frac{4k（k-1）}{2k（k-2）}$=2k-2（k-1）=2．
所以直线AP、AQ斜率之和为定值2．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，属于中档题．