Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=-3S_n+4，b_n=-log₂a_n+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式与数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{1}{n（n+1）}$，其中n∈N*，若数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （I）a_n=-3S_n+4，n≥2时，a_n-1=-3S_n-1+4，相减可得：a_n-a_n-1=-3a_n，再利用等比数列的通项公式可得a_n．代入b_n=-log₂a_n+1，即可得出．
（2）c_n=$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{2n}{{2}^{n+1}}$+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，其中n∈N*，设数列{$\frac{n}{{2}^{n}}$}的前n项和为A_n，利用错位相减法即可得出A_n．设数列$\{\frac{1}{n（n+1）}\}$的前n项和为B_n．利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：（I）a_n=-3S_n+4，n≥2时，a_n-1=-3S_n-1+4，相减可得：a_n-a_n-1=-3a_n，可得a_n=$\frac{1}{4}{a}_{n-1}$．
n=1时，a₁=-3a₁+4，解得a₁=1．
∴数列{a_n}为等比数列，首项为1，公比为$\frac{1}{4}$．
∴a_n=$（\frac{1}{4}）^{n-1}$．
b_n=-log₂a_n+1=-$lo{g}_{2}{4}^{-n}$=2n．
（2）c_n=$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{2n}{{2}^{n+1}}$+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，其中n∈N*，
设数列{$\frac{n}{{2}^{n}}$}的前n项和为A_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{A}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{A}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴A_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．
设数列$\{\frac{1}{n（n+1）}\}$的前n项和为B_n．
则B_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．