Question

14．设函数f（x）=ax²+（a-2）x-2（a∈R）．
（1）解关于x的不等式f（x）≥0；
（2）若a＞0，当-1≤x≤1时，f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若当-1＜a＜1时，f（x）＞0恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据a=0和a≠0以及根的大小讨论求解．
（2）a＞0，当-1≤x≤1时，利用二次方程根的分布，可求a的取值范围．
（3）当-1＜a＜1时，设g（a）=a（x²+x）-2（x+1），g（a）＞0恒成立．看成关于a的一次函数求x的取值范围．

解答 解：（ 1）由不等式f（x）≥0可得，（ax-2）（x+1）≥0．
当a=0时，不等式可化为-2（x+1）≥0，解得x≤-1；
当a≠0时，方程（ax-2）（x+1）=0有两根-1，$\frac{2}{a}$．
若a＜-2，则-1＜$\frac{2}{a}$，由（ax-2）（x+1）≥0，解得-1≤x≤$\frac{2}{a}$；
若a=-2，不等式可化为-2（x+1）²≥0，解得x=-1；
若-2＜a＜0，则$\frac{2}{a}$＜-1，由（ax-2）（x+1）≥0，解得$\frac{2}{a}≤x≤$-1；
若a＞0，则$\frac{2}{a}$＞-1，由（ax-2）（x+1）≥0，解得x≤-1或x≥$\frac{2}{a}$；
综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x|x≤-1}；
当a＜-2时，不等式的解集为{x|-1≤x≤$\frac{2}{a}$}；
当a=-2时，不等式的解集为{-1}；
当-2＜a＜0时，不等式的解集为{x|}$\frac{2}{a}$≤x≤-1}；
当a＞0时，不等式的解集为{x|x≤-1或x≥$\frac{2}{a}$}．
（2）当a＞0时，函数f（x）开口向上，
∵-1≤x≤1时，f（x）≤0时恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≤0}\\{f（-1）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2a-4≤0}\\{0≤0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
解得0＜a≤2．
所以，a的取值范围为（0，2]．
（ 3）若当-1＜a＜1时，设g（a）=a（x²+x）-2（x+1）
因此，当-1＜a＜1时，f（x）＞0时恒成立等价于当-1＜a＜1时，g（a）＞0恒成立．
当x=0时，g（a）=-2＜0，不符合题意；
当x=-1时，g（a）=0，不符合题意；
当x≠0，x≠-1时，只需$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（-1）≥0}\end{array}\right.$成立即可
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-2≥0}\\{-{x}^{2}-3x-2≥0}\\{x≠0，x≠-1}\end{array}\right.$，解得-2≤x＜-1．
所以，x的取值范围为[-2，-1）

点评 本题考查了不等式的解法（系数引发的讨论）．转化思想和构造函数的思想．恒等式的转化求解问题．属于难题．