Question

2．设x，y，z∈R，且x+2y+3z=1．
（1）当z=1，|x+y|+|y+1|＞2时，求x的取值范围．
（2）当z=-1，x＞0，y＞0时，求$u=\frac{x^2}{x+1}+\frac{{2{y^2}}}{y+2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用条件化二元为一元，再解不等式，即可求x的取值范围；
（2）利用柯西不等式，即可求得u的最小值．

解答 解：（1）当z=1时，∵x+2y+3z=1，∴x+2y=-2，即y=$\frac{-2-x}{2}$
∴|x+y|+|y+1|＞2可化简|x-2|+|x|＞4，
∴x＜0时，-x+2-x＞4，∴x＜-1；
0≤x≤2时，-x+2+x＞4不成立；
x＞2时，x-2+x＞4，∴x＞3；
综上知，x＜-1或x＞3；
（2）∵x+2y+3z=1．z=-1，x＞0，y＞0，
（$\frac{{x}^{2}}{1+x}$$+\frac{2{y}^{2}}{y+2}$）[（x+1）+2（y+2）]≥（x+2y）²
∴（$\frac{{x}^{2}}{1+x}$$+\frac{2{y}^{2}}{y+2}$）（x+2y+5）≥（x+2y）²=16
∴$\frac{{x}^{2}}{1+x}$$+\frac{2{y}^{2}}{y+2}$≥$\frac{16}{9}$
∴$u=\frac{x^2}{x+1}+\frac{{2{y^2}}}{y+2}$$≥\frac{16}{9}$，
当且仅当$\frac{x}{1+x}$=$\frac{y}{y+2}$，又x+2y=4，
即x=$\frac{4}{5}$，y=$\frac{8}{5}$时，u_min=$\frac{16}{9}$．

点评 本题考查解不等式，考查函数的最值，正确运用柯西不等式是关键．