Question

19．已知f（x）=log₂（4^x+1）+kx，（k∈R）是偶函数．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=log₂（a•2^x-$\frac{4}{3}$a），其中a＞0，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用偶函数满足f（-x）=f（x）得到关于实数k的恒等式，据此整理计算即可求得最终结果；
（2）换元后将原问题转化为二次函数的问题，然后结合题意分类讨论即可求得最终结果．

解答 解：（1）函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx是偶函数，则f（-x）=log₂（4^-x+1）-kx=f（x），
则对任意的x∈R，都有：log₂（4^-x+1）-kx=log₂（4^x+1）+kx，
据此可得：k=-1．
（2）令t=2^x，则 $t＞\frac{4}{3}$，原问题等价于关于t的方程：$（a-1）{t}^{2}-\frac{4}{3}at-1=0$ （*）
在区间 上存在唯一的实数解，分类讨论如下：
①当a=1时，解得：$t=\frac{3}{4}∉（\frac{4}{3}，+∞）$，不合题意；
②当0＜a＜1时，令 $h（t）=（a-1）{t}^{2}-\frac{4}{3}at-1$，
其图象的对称轴 $t=\frac{2a}{3（a-1）}＜0$，
函数h（t）在区间（0，+∞）上单调递减，而h（0）=-1，
故方程（*）在 $（\frac{4}{3}，+∞）$上无解．
③当a＞1时，令 $h（t）=（a-1）{t}^{2}-\frac{4}{3}at-1$，
其图象的对称轴 $t=\frac{2a}{3（a-1）}＞0$，
此时只需$h（\frac{4}{3}）＜0$，即$\frac{16}{9}（a-1）-\frac{16}{9}a-1＜0$，
此式恒成立，则此时实数a的取值范围是a＞1．
综上可得，实数a的取值范围是{a|a＞1}．

点评 本题考查偶函数的性质，二次函数的性质，分类讨论的思想，换元法等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．