Question

18．在等腰直角△ABC中，P为平面ABC内的一点，斜边AB=4，则$\overrightarrow{PC}•（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）$的最小值是（　　）

• A． $-\frac{8}{9}$
• B． -1
• C． -2
• D． $-\frac{16}{9}$

Answer 1

分析 由题意画出图形并得到A，B的坐标，设出P的坐标，代入$\overrightarrow{PC}•（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）$，利用配方法求其最小值．

解答 解：由题意建立如图所示平面直角坐标系，

则A（$2\sqrt{2}$，0），B（0，2$\sqrt{2}$），
设P（x，y），则$\overrightarrow{PC}=（-x，-y）$，$\overrightarrow{PA}=（2\sqrt{2}-x，-y）$，$\overrightarrow{PB}=（-x，2\sqrt{2}-y）$，
∴$\overrightarrow{PC}•（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）$=（-x，-y）•（$2\sqrt{2}-2x$，$2\sqrt{2}-2y$）=$2{x}^{2}-2\sqrt{2}x+2{y}^{2}-2\sqrt{2}y$
=$2（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+2（y-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}-2$．
∴当且仅当$x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$\overrightarrow{PC}•（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）$取最小值-2．
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法，是中档题．