Question

命题p：不等式|

x

x-1

|＞

x

x-1

的解集为{x|0＜x＜1}；命题q：0＜a≤

1

5

是函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数的充分不必要条件，则（　　）

• A、p真q假
• B、“p且q”为真
• C、“p或q”为假
• D、p假q真

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：分别判断命题p，q的真假性，然后根据复合命题之间的关系进行判断即可．

解答： 解：若不等式|

x

x-1

|＞

x

x-1

成立，则不等式

x

x-1

＜0，即0＜x＜1，∴命题p为真命题．
若函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数，
则当a=0时，函数f（x）=-2x+2，满足条件．
当a≠0，要使函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数，
则

a＞0 - 2(a-1) 2a ≥4

，
∴

a＞0 a≤ 1 5

，
即0＜a≤

1

5

，
综上0≤a≤

1

5

，
∴0＜a≤

1

5

是函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数的充分不必要条件，
∴命题q是真命题．
∴“p且q”为真，
故选：B．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．