Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，点D是线段PB的中点，平面PAC⊥平面ABC．
（1）在线段AB上是否存在点E，使得DE∥平面PAC？若存在，指出点E的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由；
（2）求证：PA⊥BC
（3）若PC=4，PA=5，求异面直线AD与BC所成的角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,异面直线及其所成的角

专题：平面向量及应用,空间位置关系与距离

分析：（1）取线段AB的中点E，连接DE，由中位线的性质可得DE∥PA，又PA?平面PAC，DE?平面PAC，从而可证DE∥平面PAC．
（2）由勾股定理可证AC⊥BC，从而可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，可证BC⊥平面PAC，即可证明PA⊥BC．
（3）以CA，CB，CP为正交基底建立空间直角坐标系O-xyz，则可求

AD

，

CB

坐标，利用向量的夹角公式即可得出异面直线AD与BC所成的角的余弦值．

解答： 解：（1）在线段AB上存在点E，使得DE∥平面PAC，点E是线段AB的中点．下面证明DE∥平面PAC：
取线段AB的中点E，连接DE，
∵点D是线段PB的中点，
∴DE是△PAB的中位线．
∴DE∥PA．
∵PA?平面PAC，DE?平面PAC，
∴DE∥平面PAC．
（2）证明：∵AB=5，BC=4，AC=3，
∴AB²=BC²+AC²．
∴AC⊥BC．
∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面PAC．
∵PA?平面PAC，
∴PA⊥BC．
（3）以CA，CB，CP为正交基底建立空间直角坐标系O-xyz，
则A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，4），D（0，2，2），
∴

AD

=(0，2，2)-(3，0，0)=(-3，2，2)，

CB

=(0，4，0)，
∴cos＜

AD

，

CB

＞=

(-3，2，2)•(0，4，0)

4 9+4+4

=

2 17

17

，
∴异面直线AD与BC所成的角的余弦值

2 17

17

．

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，异面直线及其所成的角，向量的夹角公式的应用，以CA，CB，CP为正交基底建立空间直角坐标系是题目（3）的解题的关键，属于中档题．