Question

若函数y=a^x-x-a有两个零点，则a的取值范围是（　　）

• A、（1，+∞）
• B、（0，1）
• C、（0，+∞）
• D、∅

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：分当0＜a＜1时及当a＞1时讨论，结合函数的单调性及取值范围，运用函数零点的判定定理确定个数即可．

解答： 解：①当0＜a＜1时，
易知函数y=a^x-x-a是减函数，
故最多有一个零点，故不成立；
②当a＞1时，y′=lna•a^x-1，
故当a^x＜

1

lna

时，y′＜0；
当a^x＞

1

lna

时，y′＞0；
故y=a^x-x-a在R上先减后增，
且当x→-∞时，y→+∞，当x→+∞时，y→+∞，
且当x=0时，y=1-0-a＜0；
故函数y=a^x-x-a有两个零点；
故成立；
故选A．

点评：本题综合考查了导数的综合应用及函数零点判定定理的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于基础题．