Question

已知椭圆的离心率为，且过点

（1）求椭圆的标准方程：

（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若

①求的最值：

②求证：四边形ABCD的面积为定值.

Answer 1

（1）；（2）①的最小值为，最大值为；②.

【解析】

试题分析：（1）根据离心率写出有关的等式，将点代入椭圆方程，同时椭圆中三个等式联立求得的值，得到所求椭圆的方程；（2）①直线的斜率存在时与（1）中的椭圆方程联立，又韦达定理得到，同时又得到，化简得到关于和的关系，所以要求的，根据函数单调性求得；当直线的斜率不存在时得到,综上得到的最小值为，最大值为；②根据已知条件及椭圆的对称性知，由弦长公式及点到直线的距离公式，得到,进而得到四边形的面积为定值.

试题解析：;

（2）设

，

.

考点：1.椭圆的标准方程；2.韦达定理；3.弦长公式.