Question

过抛物线y=ax²（a＞0）的焦点F作一条斜率不为0的直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、n，则

mn

m+n

等于（　　）

• A、

  1

  2a

• B、

  1

  4a

• C、2a
• D、

  a

  4

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根据韦达定理可求得x₁x₂的值，又根据抛物线定义可知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1代入答案可得．

解答： 解：易知F坐标（0，

1

4a

）准线方程为x=-

1

4a

．÷
设过F点直线方程为y=kx+

1

4a

代入抛物线方程，得 ax²-kx-

1

4a

=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则有x₁x₂=

1

4

，x₁+x₂=

k

a

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+

1

2a

=

k2

a

+

1

2a

，
y₁y₂=(kx1+

1

4a

)(kx2+

1

4a

)=

1

16a2

，
根据抛物线性质可知，m=y₁+

a

4

，n=y₂+

a

4

∴m+n=y₁+y₂+

a

2

=

k2+1

a

，
mn=y1y2+

1

4a

(y1+y2)+

1

16a2

=

k2+1

4a2

，
∴

mn

m+n

=

k2+1 4a2

k2+1 a

=

1

4a

故选B．

点评：本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义．对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的定义来解决．