Question

【题目】如图，多面体, , ,且两两垂直．给出下列四个命题：

①三棱锥的体积为定值；

②经过四点的球的直径为;

③直线∥平面；

④直线所成的角为；

其中真命题的个数是（　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

由题意，只要构造长方体，设OA=x，OB=y，OC=z，则x2+y2=2，x2+z2=4，y2+z2=4，解得，x=1，y=1，z=，运用棱锥的体积公式，即可判断①；运用异面直线所成角的定义，即可判断②；球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，即可判断③；由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，即可判断④．

由题意，构造长方体，如右图，设OA=x，OB=y，OC=z，

则x2+y2=2，x2+z2=4，y2+z2=4，解得，x=y=1，z=，

对于①，三棱锥O﹣ABC的体积为OC×OA×OB=，故①对；

对于②，球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，

即为，故②对；

对于③，由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，则OB和平面ACD相交，故③错．

对于④，由于OB∥AE，则∠DAE即为直线AD与OB所成的角，

由tan∠DAE=，则∠DAE=60°，故④对；

故选：C