Question

9．若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：|$\overrightarrow{a}$|=1，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$，则|$\overrightarrow{b}$|=（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{3}$
• C． 1
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由题意利用两个向量垂直的性质求得1+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，从而求得|$\overrightarrow{b}$|的值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：|$\overrightarrow{a}$|=1，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-1．
∵（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$，∴3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=-3+${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
∴${\overrightarrow{b}}^{2}$=3，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，
故选：B．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，属于基础题．