Question

19．数列{a_n}的通项公式为a_n=30+7n-n²，n∈N^*．
（I）若a_n＞0，求n的取值；
（Ⅱ）数列{a_n}中，是否存在最大项？若存在，求出最大项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由a_n=30+7n-n²＞0，解出即可得出．
（II）配方a_n=30+7n-n²=-$（n-\frac{7}{2}）^{2}$+$\frac{169}{4}$，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）由a_n=30+7n-n²＞0，化为（n-10）（n+3）＜0，n＞0，解得0＜n＜10，可得：n=1，2，…，9．
（II）a_n=30+7n-n²=-$（n-\frac{7}{2}）^{2}$+$\frac{169}{4}$，
∴当n=3或4时，a_n取得最大值．
∴数列{a_n}中，存在最大项为：a₃或a₄．

点评 本题考查了不等式的解法、二次函数的单调性、配方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．