Question

【题目】三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．

（1）证明：P是线段BC的中点；
（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：

平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2

设O为BD的中点，连接OA，OC

于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OACBD⊥AC

因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP

假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线

从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点

（2）解：以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A（0，0， ），M（ ，O， ），N（ ，0， ），P（ ， ，0）

于是 ， ，

设平面ANP和平面NPM的法向量分别为 和

由 ，则 ，设z1=1，则

由 ，则 ，设z2=1，则

cos = = =

所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值

【解析】（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．