Question

已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x-y-3=0的距离为2

2

，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得d=

|0-c-3|

2

=2

2

，由此能求出抛物线C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），由x²=4y，得y′=

1

2

x，由此能求出直线AB的方程为x₀x-2y-2y₀=0，由抛物线定义知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，|AF|•|BF|=（y₁+1）（y₂+1）=y₁+y₂+y₁y₂+1，联立

x2=4y x0x-2y-2y0=0

，消去x，得y2+(2y0-x02)y+y02=0，从而|AF|•|BF|=2(y0+

1

2

)2+

9

2

，由此能求出|AF|•|BF|取得最小值

9

2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x-y-3=0的距离为2

2

，
∴d=

|0-c-3|

2

=2

2

，解得c=1，或c=-7（舍），
∴抛物线C的方程为x²=4y．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
由x²=4y，即y=

1

4

x2，得y′=

1

2

x，
∴抛物线C在A处的切线PA的方程为y-y₁=

x1

2

（x-x₁），
即y=

x1

2

x+y1-

1

2

x12，
∵y1=

1

4

x12，∴y=

x1

2

x-y1，
∵P（x₀，y₀）在切线l₁上，∴y0=

x1

2

x0-y1，①
同理，y0=

x2

2

x0-y2，②
综合①②，得，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的坐标都满足方程y0=

x

2

x0-y，
∵经过A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点的直线是唯一的，
∴直线AB的方程为y0=

x

2

x0-y，即x₀x-2y-2y₀=0，
由抛物线定义知：
|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，
∴|AF|•|BF|=（y₁+1）（y₂+1）=y₁+y₂+y₁y₂+1，
联立

x2=4y x0x-2y-2y0=0

，消去x，得y2+(2y0-x02)y+y02=0，
∴y1+y2=x02-2y0，y1y2=y02，
∵x₀-y₀-2=0，
∴|AF|•|BF|=y02-2y0+x02+1
=y02-2y0+(y0+2)2+1
=2y02+2y0+5
=2(y0+

1

2

)2+

9

2

，
∴当y0=-

1

2

时，|AF|•|BF|取得最小值

9

2

．

点评：本题考查抛物线C的方程的求法，考查|AF|•|BF|的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．