Question

定义域在R上的函数f（x）=

x(1-x)，x＜0 0，x=0 x(1+x)，x＞0

，若y=f（x）+3在区间[a，b]上的最小值为m，在区间[-b，-a]上的最大值为M，则M+m等于

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：可将函数化为f（x）=x（1+|x|）．运用定义判断奇偶性，运用二次函数判断单调性，再由单调性和奇偶性，即可得到M+m．

解答： 解：∵定义域在R上的函数f（x）=

x(1-x)，x＜0 0，x=0 x(1+x)，x＞0

，
∴f（x）=x（1+|x|）．
∵f（-x）=-x（1+|-x|）=-x（1+|x|）=-f（x），
∴f（x）是奇函数，
∵x＞0，f（x）=x²+x是增函数，且f（x）连续，
∴f（x）在R上是增函数，
∵y=f（x）+3在区间[a，b]上的最小值为m，
∴f（a）+3=m，
∵y=f（x）+3在区间[-b，-a]上的最大值为M，
∴f（-a）+3=M，
∴M+m=f（a）+f（-a）+6=6．
故答案为：6．

点评：本题考查函数的单调性和奇偶性及运用，以及函数的最值，注意运用定义解决，属于中档题．