Question

定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0．若x大于等于0时，f（x）为增函数，求满足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x的取值集合．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：令x=y=1可得f（1）=0；再令x=y=-1，可得f（-1）=0；再令x=-1代入得f（-y）=f（y），所以函数f（x）是偶函数；再将f（x+1）-f（2-x）≤0变形为f（x+1）≤f（2-x），结合偶函数的性质可得到不含“f”符号的关于x的不等式，解之即可．

解答： 解：令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y），可得f（1）=0，
同理令x=y=-1，可得f（-1）=0，
再令x=-1代入f（xy）=f（x）+f（y），得f（-y）=f（y），所以函数f（x）是偶函数；
f（x+1）-f（2-x）≤0可化为f（x+1）≤f（2-x），
又∵x≥0时，f（x）为增函数，
结合偶函数的图象性质可知，当自变量取值的绝对值越小时，函数值越小，
∴|x+1|≤|2-x|，
∴（x+1）²≤（2-x）²，解得x≤

1

2

，
∴所求集合为{x|x≤

1

2

}．

点评：此类问题一般先利用赋值法求出特殊点的函数值，判断函数的奇偶性等性质，再借助于图象得直观性的得到我们需要的隐含条件，最终得到关于x的具体的不等式，解之即可；这个题利用了偶函数与单调性之间的关系构造了关于x的不等式，最后不要忽视结果要写成集合形式．