Question

已知函数f（x）=e^x-ax（a∈R）在点P（0，f（0））处切线为l．
（Ⅰ）若切线l的斜率为2，求f（x）；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）证明：无论a取什么实数，函数f（x）的图象总在直线l的上方（点P除外）．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到函数在x=0时的导数，由f'（0）=2求得a的值，则f（x）的解析式可求；
（Ⅱ）分a≤0和a＞0讨论，由导函数大于0求得原函数的增区间，由导函数小于0求得原函数的减区间；
（Ⅲ）求出切线l的方程，把证明函数f（x）的图象总在直线l的上方转化为证e^x-（x+1）＞0（x≠0），构造函数后利用导数求函数的最小值加以证明．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=e^x-ax，
∴f′（x）=e^x-a，则f′（0）=1-a，
由题意可知f′（0）=2，
∴a=-1．
∴f（x）=e^x+x；
（Ⅱ）解：∵f′（x）=e^x-a，
①当a≤0时，f′（x）=e^x-a＞0，
∴f（x）在R上单调递增．
②当a＞0时，若f′（x）＞0，则x＞lna．
若f'（x）＜0，则x＜lna．
∴f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（-∞，lna）上单调递减；
（Ⅲ）证明：∵P（0，1），f′（0）=1-a，
∴l的方程为y=（1-a）x+1，
要证函数f（x）=e^x-ax的图象恒在其切线l：y=（1-a）x+1的上方（切点除外），
即证e^x-ax＞（1-a）x+1，
即证e^x-（x+1）＞0（x≠0），
令h（x）=e^x-（x+1），则h′（x）=e^x-1，
由h'（x）＞0，得x＞0，
由h'（x）＜0，得x＜0．
∴函数h（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，
∴h（x）_min=h（0）=0，
∴e^x＞x+1（x≠0）．
∴当x≠0时，f（x）＞（1-a）x+1．
即函数f（x）的图象恒在其切线l的上方（切点除外）．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了函数构造法和数学转化思想方法，是压轴题．