Question

已知函数 f（x）=

1

3

x³+x²+ax-6（a∈R），若任意x∈[0，2]，f（x）＜0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：当x=0时，?a∈R，f（x）=-6＜0成立．当x∈（0，2]时，由 f（x）=

1

3

x³+x²+ax-6＜0恒成立?a＜(-

1

3

x2-x+

6

x

)min，x∈（0，2]．令g（x）=-

1

3

x2-x+

6

x

，
x∈（0，2]．再利用导数研究其单调性极值最值即可得出．

解答： 解：当x=0时，?a∈R，f（x）=-6＜0成立．
当x∈（0，2]时，由 f（x）=

1

3

x³+x²+ax-6＜0恒成立?a＜(-

1

3

x2-x+

6

x

)min，x∈（0，2]．
令g（x）=-

1

3

x2-x+

6

x

，x∈（0，2]．
g′(x)=-

2

3

x-1-

6

x2

＜0，
因此函数g（x）在x∈（0，2]单调递减，∴当x=2时，函数g（x）取得最小值，g（2）=-

1

3

．
∴a＜-

1

3

．
综上可得：a的取值范围是(-∞，-

1

3

)．

点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．