Question

已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，数列{b_n}是等比数列．
（1）若c_n=（a_n+1-a_n）b_n（n∈N^*），求证：{c_n}为等比数列；
（2）设c_n=a_nb_n（n∈N^*），其中a_n是公差为2的整数项数列，b_n=(

12

13

)n，若c₅＞2c₄＞4c₃＞8c₂＞16c₁，且当n≥17时，{c_n}是递减数列，求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{c_n}使得{

anbn

cn

}是等比数列，数列{d_n}的前n项和为

an-cn

cn

，且数列{d_n}满足：对任意n≥2，n∈N^*，或者d_n=0恒成立或者存在正常数M，使

1

M

＜|d_n|＜M恒成立，求证：数列{c_n}为等差数列．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差d≠0，等比数列{b_n}的公比q≠0，由于c_n=（a_n+1-a_n）b_n=db_n，即可证明

cn+1

cn

为非0常数；
（2））由于a_n是公差为2的整数项数列，可得a_n=a₁+2（n-1）∈Z．利用c_n=a_nb_n（n∈N^*），b_n=(

12

13

)n，可得cn=(a1+2n-2)•(

12

13

)n．利用c₅＞2c₄＞4c₃＞8c₂＞16c₁，可得：a1＜-

30

7

．又当n≥17时，{c_n}是递减数列，可得c_n＞c_n+1，得到a₁＞26-2n，因此a₁＞26-2×17=-8．可得：-8＜a1＜-

30

7

，又a₁∈Z，可得a₁=-7，-6，-5．
即可得出a_n．
（3））（i）n≥2，当d_n=0恒成立时，数列{d_n}的前n项和为

an-cn

cn

=0，c_n=a_n，利用数列{a_n}是公差不为零的等差数列，即可得出结论．
（ii）n≥2，d_n=

an-cn

cn

-

an-1-cn-1

cn-1

=

an

cn

-

an-1

cn-1

．由数列{c_n}使得{

anbn

cn

}是等比数列，可得

anbn

cn

×

cn-1

an-1bn-1

=k为常数，

an

cn

=s•

an-1

cn-1

（s为非0常数），得到d_n=t•

an

cn

．
由于n≥2，存在正常数M，使

1

M

＜|d_n|＜M恒成立．可得n≥2，存在正常数M，使

1

M

＜|

tan

cn

|＜M恒成立，于是存在常数p使得c_n=pa_n，而数列{a_n}是公差不为零的等差数列，∴此时数列{c_n}也是等差数列．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差d≠0，等比数列{b_n}的公比q≠0，
∵c_n=（a_n+1-a_n）b_n=db_n，
则

cn+1

cn

=

dbn+1

dbn

=q≠0，
因此{c_n}为等比数列；
（2）∵a_n是公差为2的整数项数列，∴a_n=a₁+2（n-1）∈Z．
∵c_n=a_nb_n（n∈N^*），b_n=(

12

13

)n，
∴cn=(a1+2n-2)•(

12

13

)n．
∵c₅＞2c₄＞4c₃＞8c₂＞16c₁，
∴由c₅＞2c₄可得，(a1+8)•(

12

13

)5＞2×(a1+6)•(

12

13

)4，解得a1＜-

30

7

，
同理可得a1＜-

16

7

，a₁＜-

2

7

，a1＜

12

7

．
综上可得：a1＜-

30

7

．
又当n≥17时，{c_n}是递减数列，
∴c_n＞c_n+1，
∴(a1+2n-2)•(

12

13

)n＞(a1+2n)•(

12

13

)n+1，
化为a₁＞26-2n，
∴a₁＞26-2×17=-8．
综上可得：-8＜a1＜-

30

7

，
又a₁∈Z，∴a₁=-7，-6，-5．
∴a_n=2n-9，或2n-8，或2n-7．
（3）（i）n≥2，当d_n=0恒成立时，数列{d_n}的前n项和为

an-cn

cn

=0，c_n=a_n，
∵数列{a_n}是公差不为零的等差数列，∴此时数列{c_n}也是等差数列．
（ii）∵当n≥2时，d_n=

an-cn

cn

-

an-1-cn-1

cn-1

=

an

cn

-

an-1

cn-1

．
∵存在数列{c_n}使得{

anbn

cn

}是等比数列，
∴

anbn

cn

×

cn-1

an-1bn-1

=k为常数，
∴

an

cn

=s•

an-1

cn-1

（s为非0常数），∴d_n=t•

an

cn

．
∵n≥2，存在正常数M，使

1

M

＜|d_n|＜M恒成立，
∴n≥2，存在正常数M，使

1

M

＜|

tan

cn

|＜M恒成立，
∴存在常数p使得c_n=pa_n，而数列{a_n}是公差不为零的等差数列，∴此时数列{c_n}也是等差数列．

点评：本题综合考查了等差数列与等比数列的定义、通项公式及其性质，考查了推理能力和计算能力，考查了灵活解决问题的能力，属于难题．