Question

对于任意的n∈N^*（n不超过数列的项数），若数列{a_n}满足：a₁+a₂+…+a_n=a₁•a₂•…•a_n，则称该数列为K数列．
（Ⅰ）若数列{a_n}是首项a₁=2的K数列，求a₃的值；
（Ⅱ）若数列{

1

an

}是K数列．
（1）试求a_n+1与a_n的递推关系；
（2）当n≥3且0＜a₁＜1时，试比较

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

与

16

3

的大小．

Answer 1

考点：数列递推式,数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）根据递推数列分别令n=2，3，即可求a₃的值；
（Ⅱ）根据数列{

1

an

}是K数列．建立条件故选即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）当n=2时，a₁+a₂=a₁•a₂，即2+a₂=2a₂，
解得a₂=2，
当n=3时，a₁+a₂+a₃=a₁•a₂•a₃，即2+2+a₃=4a₃，
解得a₃=

4

3

；
（Ⅱ）∵数列{

1

an

}是K数列，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

a1

•

1

a2

•…

1

an

，①

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

+

1

an+1

=

1

a1

•

1

a2

•…

1

an

，②
两式相减得

1

an+1

=（

1

an+1

-1）

1

a1

•

1

a2

•…

1

an

，③
则

1

an

=（

1

an

-1）

1

a1

•

1

a2

•…

1

an-1

，（n≥2），④
两式相除得

1 an+1

1 an

=

( 1 an+1 -1)• 1 an

1 an -1

，
整理得a_n+1=a_n²-a_n+1=0，（n≥2）．
又

1

a1

+

1

a2

=

1

a1

•

1

a2

，
∴a₂=1-a₁，
综上a_n+1与a_n的递推关系为an+1=

1-an，n=1 an2-an+1，n≥2

．
（2）∵0＜a₁＜1，∴0＜1-a₁＜1，
从而

3

4

≤a3=(a2-

1

2

)2+

3

4

＜1，
a₄≥（

3

4

）²-

3

4

+1=

13

16

，
又a_n+1＞a_n≥

13

16

，（n≥4），
当n≥2时，

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

∴n≥3时，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

a1

+（

1

a2-1

-

1

a3-1

）+…+（

1

an-1

-

1

an+1-1

）
=

1

a1

+

1

a2-1

-

1

an+1-1

=-

1

an+1-1

=

1

1-an+1

≥

13

16

．

点评：本题主要考查递推数列的应用，以及数列与不等式的综合，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．