Question

设函数f（x）=x²-alnx+bx
（1）若函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，求实数b的最大值；
（2）若f（x）＜0对任意的x∈（1，e），-2≤b≤-1都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由导数的运算法则可得：f′(x)=2x-

a

x

+b=

2x2+bx-a

x

．（x＞0）．由于函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减．可得f′（x）满足在（0，1]上f′（x）≥0，在[1，e）上f′（x）≤0．即可求出b的最大值．
（2）由f（x）＜0即x²-alnx+bx＜0，可知：a＞

x2+bx

lnx

对任意的x∈（1，e），-2≤b≤-1都成立．
令g（b）=

x2+bx

lnx

=

x

lnx

b+

x2

lnx

．由于x∈（1，e），

x

lnx

＞0，利用一次函数的单调性可知：当b取最大值-1时，g（b）取得最大值

x2-x

lnx

．于是可得a＞

x2-x

lnx

，x∈（1，e），化为alnx-x²+x＞0，x∈（1，e）．令h（x）=alnx-x²+x＞0，x∈（1，e），注意到h（1）=0．令h′（x）=

a

x

-2x+1≥0，再利用二次函数的单调性解出即可．

解答： 解：f′(x)=2x-

a

x

+b=

2x2+bx-a

x

．（x＞0）．
（1）∵函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减．
∴f′（x）满足在（0，1]上f′（x）≥0，在[1，e）上f′（x）≤0．
∴f′（1）=2+b-a=0，即a=2+b．
可得2x²+bx-2-b=（2x+2+b）（x-1）．
∴在（0，1]上2x+2+b≤0，∴b≤（-2x-2）_min=-4．
在[1，e）上2x+2+b≥0．∴b≥（-2x-2）_max=-4．
∴实数b的最大值是-4．
（2）由f（x）＜0即x²-alnx+bx＜0，
∴a＞

x2+bx

lnx

对任意的x∈（1，e），-2≤b≤-1都成立．
令g（b）=

x2+bx

lnx

=

x

lnx

b+

x2

lnx

．
由于x∈（1，e），∴

x

lnx

＞0，
因此当b取最大值-1时，g（b）取得最大值

x2-x

lnx

．
∴a＞

x2-x

lnx

，x∈（1，e），
化为alnx-x²+x＞0，x∈（1，e）．
令h（x）=alnx-x²+x＞0，x∈（1，e），可知h（1）=0．
由h′（x）=

a

x

-2x+1≥0，可得a≥2x²-x=2(x-

1

4

)2-

1

8

，
由二次函数的单调性可知：当x=e时，2x²-x取得最大值2e²-e，
∴a≥2e²-e．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了变量分化、转变主元、逐个解决的方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．