Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-alnx
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线2x-y+1=0平行，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）对任意的n∈N^*，求证：

1

2

n²＞lnn．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）由题意可得f′（1）=2，解出即可；
（2）分a≤0，a＞0两种情况讨论，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（3）取a=1，由（2）可得f（x）≥f(1)=

1

2

，由此可得结论；

解答： 解：（1）f′（x）=x-

a

x

，
由题意知y=f（x）在x=1处的切线斜率为2，即f′（1）=2，
∴1-a=2，解得a=-1；
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，由f′（x）＜0，得0＜x＜

a

；由f′（x）＞0，得x＞

a

．
∴当a≤0时，f（x）的递增区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的递减区间是（0，

a

]，递增区间是[

a

，+∞）．
（3）取a=1，由（2）知，f（x）=

1

2

x²-lnx在[1，+∞）上单调递增，
∴f（x）≥f(1)=

1

2

，
∴

1

2

x²-lnx≥

1

2

，

1

2

x²≥lnx+

1

2

，
∴对任意的n∈N^*，

1

2

n²≥lnn+

1

2

＞lnn．

点评：该题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值，考查学生分析解决问题的能力，注意：求单调区间要在定义域内进行．