Question

设圆P与圆M：（x+2）²+y²=1和圆N：（x+2）²+y²=1中的一个内切，另一个外切
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若|PM|=2|PN|²，求|PN|的值．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用已知条件转化P满足的关系式，判断轨迹方程满足的圆锥曲线的定义，求出轨迹方程．
（2）利用双曲线的定义，以及已知条件列出方程求解即可．

解答： 解：（1）由题意可得，两圆的圆心分别为M（-2，0）、N（2，0）
因此可得|PM|+1=|PN|-1或|PN|+1=|PM|-1…（4分）
所以||PM|-|PN||=2＜|MN|=4…（5分）
所以点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长a=1，c=2，b=

3

的双曲线．…（6分）
所以双曲线的方程为x²-

y2

3

=1…（8分）
（2）由题意可得|PN|≥1
∵|PM|=2|PN|²，①
知|PM|＞|PN|，
所以|PM|=|PN|+2．②…（9分）
将②代入①，得2||PN|²-|PN|-2=0，…（10分）
解得|PN|=

1± 17

4

，（舍去

1- 17

4

）．
所以|PN|=

1+ 17

4

．…（12分）

点评：本题考查双曲线的定义，轨迹方程的求法，注意条件的应用，考查转化思想以及计算能力．