Question

已知E、F是x轴上的点，坐标原点O为线段EF的中点，G、P是坐标平面上的动点，点P在线段FG上，|

FG

|=10，|

EF

|=6，（

PE

+

1

2

EG

）•

EG

=0．
（1）求P的轨迹C的方程；
（2）A、B为轨迹C上任意两点，且

OE

=α

OA

+（1-α）

OB

，M为AB的中点，求△OEM面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）取EG的中点为H，由已知条件推导出PH是线段EG的垂直平分线，|PE|+|PF|=|GF|=10，从而得到P点的轨迹为椭圆，由此能求出P的轨迹C的方程．
（2）由已知条件推导出A、B、E三点共线，设AB所在直线方程为x=my-3，联立

x=my-3 x2 25 + y2 16 =1

，整理得（16m²+25）y²-96my-256=0，由此能求出△OEM的面积最大值．

解答： 解：（1）取EG的中点为H，则

PE

+

1

2

EG

=

PH

，
∵(

PE

+

1

2

EG

)•

EG

=0，∴

PH

•

EG

=0，∴PH⊥GE，
∴PH是线段EG的垂直平分线，…（2分）∴|PE|=|PG|，
∴|PE|+|PF|=|GF|=10，
∴P点的轨迹为椭圆，设其轨迹方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，…（4分）
则2a=10，a=5，2c=6，c=3，b²=a²-c²=16，
∴P的轨迹C的方程为：

x2

25

+

y2

16

=1．…（6分）
（2）∵

OE

=α

OA

+(1-α)

OB

=α

OA

+

OB

-α

OB

，
∴

OE

-

OB

=α(

OA

-

OB

)，∴

BE

=α

BA

，∴A、B、E三点共线，…（8分）
∵E（-3，0），设AB所在直线方程为x=my-3，
联立

x=my-3 x2 25 + y2 16 =1

，整理得（16m²+25）y²-96my-256=0，
∴y1+y2=

96m

16m2+25

，∴M点的纵坐标为yM=

y1+y2

2

=

48m

16m2+25

，…（11分）
∴S△OEM=

1

2

|

OE

||yM|=

1

2

×3×

48|m|

16m2+25

=

72|m|

16m2+25

=

72

16|m|+ 25 |m|

≤

9

5

，
∴当16|m|=

25

|m|

，即m=±

5

4

时，△OEM的面积最大为

9

5

．…（13分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．